らせんと映進 ── 並進が、混ざる

今回の持ち帰り：映進とらせんは、点を動かす操作（回転・鏡）に「分数の並進」が混ざった対称操作。くり返すと整数の格子並進に戻る。

前回 は、純粋な回転だけを見た。でも周期結晶の対称には、もっと面白いやつがいる。回転や鏡に、この章の最初の主役 ── 並進（ずらし） ── が混ざってくるんだ。

いちばん身近なのが 映進（glide）。鏡に映して、同時に半歩ずらす 操作だ。砂浜の足あとを思い出してほしい。左足、右足、左足…。あれは、ぜんぶ映進でできている。

鏡だけでも、並進だけでもない

下のラボで、3つの操作を切り替えてみて。

「鏡だけ」だと、両足がその場で向かい合う ── 気をつけの姿勢で、前に進まない。「並進だけ」だと、同じ左足がただ並ぶ ── ケンケンだ。どちらも、歩いた跡には見えない。

ところが、その二つを 同時に やると ── 鏡で裏返しながら、半歩ずらす ── とたんに、自然な足あとの軌跡になる。これが映進だ。鏡だけでも、並進だけでも模様は重ならないのに、二つを混ぜた一個の操作としてなら重なる。 映進は、それ自身が一人前の対称操作なんだ。

操作を、書き下す

ここで、操作が実際に「どんな計算をしているか」を、掛け算と足し算で書き下しておこう。難しくない。やることは2つだけだ。

対称操作はぜんぶ、こう書ける。

記号の意味を、毎回ちゃんと書いておくね。

• $X$ は、もとの点（の座標）。$X'$ は、操作で 写った先 の点（右肩の「′」は“写したあと”の印）。
• $W$ は、前回までの 三脚の行き先のメモ（行列）。点の向きを、回したり裏返したりする係。
• $w$ は、そのあとに足す 並進ベクトル。

ここで、$w$ について一つ大事なことを言っておく。$w$ は 好き勝手なずらしではない。映進やらせんのような操作の $w$ は、格子の並進ベクトルの きまった分数 ── たとえば「半分」── になっている。こういうのを 分数並進 という。$X'=WX+w$ の $w$ は、その「分数並進を含む対称操作の、並進の部分」だと思ってほしい。整数ぶんの並進は格子そのものが受け持つから、ここで効くのは、その端数のほうなんだ。

計算は、本当にただの四則演算だ。点 $X=(x,\,y)$ を入れて、まず $W$ をかける ── これは「行き先のメモにしたがって、掛けて、足す」だけ。たとえば「90°回転」の $W=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ なら、

つまり $(x,\,y)$ が $(-y,\,x)$ へ移る ── たしかに 90°回転だ。行列とは、この「各成分を、掛けて、足す」をひとまとめに書いた表にすぎない。

映進なら、$W$ は 鏡 の行き先（たとえば上下を反転する $(x,\,y)\to(x,\,-y)$）、そして $w$ に 半歩ぶん のずらしが入る。「鏡で裏返す計算をして、そこに半歩を足す」── 足あとが、この一行で出てくるんだ。

具体的に、$x$ 方向に半歩ずらす映進 $g$ を成分で書くと、こうなる。

「$y$ を裏返して（鏡）、$x$ に半歩を足す（並進）」── ただ、それだけだ。

2回・n回で、整数の並進に戻る

映進とらせんには、きれいな性質がある。何回かくり返すと、ちょうど整数ぶんの格子並進に戻る んだ。

映進をもう一度やってみよう。半歩×2＝1歩、裏返り×2＝表に戻る。だから 映進を2回くり返すと、鏡の効果は消えて、ちょうど“ひと並進”だけが残る。左→右→左で、元と同じ左足が、ぴったり1歩先に出る。

さっきの $g:(x,\,y)\to(x+1/2,\,-y)$ で、実際にもう一度かけてみよう。

$y$ の裏返しは2回で打ち消し合って消え、半歩 × 2 ＝ ちょうど 1 並進だけが残る。記号で書けば、映進を $g$ として

ということになる。鏡を2回かけると元に戻るのと、同じ理屈だね。

立体の らせん軸（screw） も同じ仲間だ。軸のまわりに回しながら、その軸の方向へスッとずらす。ネジの溝、らせん階段、つるの巻きひげ ── ぜんぶこれ。映進が「鏡 ＋ ずらし」なら、らせんは「回転 ＋ ずらし」。式で言えば $W$ が回転、$w$ が軸方向の分数並進で、$X'=WX+w$ という形はまったく同じ。

らせんは、回転の回数ぶんくり返すと、軸方向の整数並進に戻る。たとえば $2_1$ らせん（180°回しながら半分ずらす）は、2回で軸方向に1並進。$3_1$ らせんは3回で1並進、$4_1$ なら4回、$6_1$ なら6回 ── 「何回で1並進に戻るか」が、その名前の数になっている。映進の $g^2$ と、まったく同じ呼吸だ。

次は、並進そのものが増える

ここまでは、回転や鏡に並進を「少し」混ぜてきた。次は、並進そのものに目を向ける。実は、周期結晶の格子には「角の点」だけじゃなく、面の真ん中や、立方体の中心にも、もう一組の格子点が隠れている ことがある。それを足すと、模様の数が一気に2倍、4倍になる ── Fm-3m が192という数を持つ理由は、そこにあるんだ。

次は、その 心（centering） の話。