回すと、増える ── 5回対称は、なぜ無い

今回の持ち帰り：周期格子と両立できる回転数は、1・2・3・4・6 回に限られる。

前回 は、対称操作が点をコピーすること、そのコピーには第1種（向きそのまま）と第2種（右手↔左手）の2通りがあることを掴んだ。今回は、第1種の代表 ── 回転 にしぼって、こう問う。

回すと点はいくつ増える？ そして、その増え方は 並進と握手できる？

この章ではずっと、周期結晶 ── 同じ模様が並進でくり返す結晶 ── を考えている。雪は六角形。多くの周期結晶が、3回・4回・6回の回転で自分に重なる。でも、5回対称の周期結晶は ── ひとつも無いんだ。正五角形のように 72° 回すとぴったり重なる周期結晶は、存在しない。4 と 6 は許されるのに、なぜ 5 は弾かれるのか。（先に正直に言っておくと、弾かれるのは 5 だけじゃない ── 7 回も 8 回も、それ以上も無い。許されるのは 1・2・3・4・6 回だけだ。ただ、許される 4 と 6 にはさまれた 5 が、いちばん不思議で有名な“禁制”だから、まずはそこを入口にする。）今日はそれを、ちゃんと底まで追う。

n回回すと、n個に並ぶ

点を一つ置いて、中心のまわりに $360°/n$ ずつ回す。すると点は、正 n 角形の頂点にきれいに並ぶ。これが n回対称（$n$ は「回す回数」＝並ぶ点の数だから、$2,3,4,\dots$ の 正の整数。2.5回対称のような半端は無いよ）。2回なら向かい合う2点、3回なら正三角形、6回なら正六角形。回転は第1種だから、三脚は裏返らない ── ただ、くるくる回って増えていく。

ここまでは、どんな n でもできる。星型の模様を描くだけなら、5回でも7回でも何の問題もない。問題は、その模様を 並進でくり返して、平面をすき間なく敷きつめられるか ── つまり、周期結晶の格子に乗せられるか、なんだ。

鍵は「2cosθ が整数」

ここで、前回の約束が効いてくる ── 同じ模様が、並進（平行移動）でどこまでもくり返す、というあれだ。その「ずらし方の足場」が 格子（規則正しく並んだ点の並び）だったね。難しい式は要らない。格子の絵だけで、結論まで行けるんだ。

格子のいちばん短い並進ベクトルを $a$ としよう ── 前回の言葉でいう「ずらし方」のうち、隣の格子点へのひと足 だ。ここが今回の急所。回転が この結晶（格子ごと）の対称操作 だということは、回しても結晶全体は自分にぴったり重なる、ということ。なら、格子点は格子点へ移らなければならない。だから $a$ を回した先も、また格子点の上でないといけないんだ。もし中途半端な ── どの格子点でもない ── 所に落ちたら、回した模様は元と重ならない。それはもう「対称」じゃない、ということになるからね。

そこで、$a$ を $+\theta$ だけ回した矢印 $a'$ と、$-\theta$ だけ回した矢印 $a''$ ── この二本を足してみる。すると和は、ちょうど $a$ と同じ向き（または真逆の向き）の、$a$ に平行なベクトルになって、ベクトルとして

と書ける（下のラボで、この $a'$・$a''$ と、その和の先端が動くのを、実際に回して見られる）。これも $a$ の方向に並んだ格子の並進だから、$a$ の 整数倍 でなければならない。$2\cos\theta$ が負なら逆向きの整数倍、という意味だ。だから、

たったこれだけが、すべてを決める。$\theta = 360°/n$ を入れて、$2\cos\theta$ が整数になる $n$ を拾うと ──

$2\cos\theta$ が整数になるのは $\{-2,-1,0,1,2\}$、つまり n = 1, 2, 3, 4, 6 だけ。これを 結晶学的制限定理 という。5 は、$2\cos72° \approx 0.618$ が整数でないから、弾かれる。$n \geq 7$ も同じだ。$n$ が大きいほど $\theta=360°/n$ は小さくなって、$1 < 2\cos(360°/n) < 2$ ── 1と2のあいだの半端な数になり、整数にはならない。だから $n=5$ も、$7$ 以上も、ここで外れる。

グラフにすると、一目だ。$2\cos\theta$ の曲線が 整数の横線にちょうど乗る ところだけが、許される回転数になる。

一つ補足。$2\cos\theta$ が整数というのは、その回転が格子と両立し うる ための条件 ── 許される回転数の 候補 を、この5つに絞る条件だ。逆に、ある格子が実際にその回転対称を 持つ かどうかは、格子の形による。正方格子は4回、三角格子（六方格子）は6回や3回を持つが、ただの斜交格子は2回どまり。「条件を満たす」ことと「実現する」ことは、別、ということになるね。

行列で見ると、一行

前回 行列は「掛けて足すだけ」だと書き下した。その目で見ると、いまの話は一行で言える。

回転を表す行列は、角度 $\theta$ を使って

と書ける（点 $(x,\,y)$ を反時計まわりに $\theta$ だけ回す表だ。$(x,\,y)$ はもとの点、写った先を $(x',\,y')$ と書く。$\theta=90°$ を入れると $\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$、つまり $x'=-y,\ y'=x$ ── 前回の $(x,y)\to(-y,x)$ と一致する）。その左上と右下を足したもの ── 対角成分の和 ── を トレース といって、ここでは $\cos\theta + \cos\theta = 2\cos\theta$。

ここで、座標を二通り用意しておくと話が早い。直交座標は、いつもの直角の x・y。格子座標は、格子の並進ベクトルそのものを目盛りに選んだ斜めの座標 ── この目盛りで見ると、格子点は必ず整数の番地になる。同じ回転でも、直交座標で見れば $R(\theta)$（中身は $\cos,\sin$）、格子座標で見れば成分がぜんぶ整数の表になる（格子点を格子点へ写すから、中途半端な数が出ない）。

そして トレースには、嬉しい性質がある。座標の取り方（基底）を変えても、トレースの値は変わらないんだ ── 座標は私たちが勝手に引いた目盛りなのに、対角の和だけは、どの目盛りで測っても同じ数になる。これを「基底変換の不変量」という。いわば、操作そのものに付いた “指紋”のような数。なぜそうなるかは少し深い話なので、ここでは立ち入らない。いま効いてくるのは、「座標に依らない」という一点だけ だ。だから ──

• 直交座標で見たトレース ＝ $2\cos\theta$
• 格子座標で見たトレース ＝ 整数（整数の表の対角の和だから）

この二つは同じ値でなければならない。よって $2\cos\theta$ は整数。さっき「$a$ を ±θ 回して足す」で絵で見たことと、まったく同じ結論だ。絵と式は、同じことを別の言葉で言っているだけなんだよ。

回して、確かめる

式だけだと「ふうん」で終わってしまう。だから触ろう。下のラボは、この「2cosθ が整数か」を、目で見える形にしたものだ。

格子の基本ベクトル $a$ を $+\theta$ と $-\theta$ に回した二本（$a'$ と $a''$）を足すと、ちょうど $a$ に平行な $(2\cos\theta)\,a$ になる。回転が結晶の対称である以上、回した先も格子の上 ── だからこの和も格子の並進、つまり 整数 × a で、格子点に乗っていないといけない。n を選んで、その先端が格子点に 戻るか／間に落ちるか を見て。「対称であること」が「ちょうど格子点に戻ること」に直結しているのを、ここで目で確かめてほしい。

2, 3, 4, 6 では、和がきれいに格子点へ戻る（◯）。でも 5 にした瞬間、先端は格子点の あいだ に落ちる（✕）。これが「5回対称は並進と握手できない」の正体だ。正五角形が床をすき間なく敷きつめられない、という子どもの頃の感覚 ── あれと、根はまったく同じ。

「絶対に無い」のか？

ここで、言葉を慎重に選びたい。よく「5回対称は絶対に現れない」と言われる。でも、正確じゃない。弾かれたのは「5回対称 と並進周期性 の両立」であって、5回対称そのものではないんだ。

並進周期性という約束を手放したらどうなる？ ── 周期的にくり返しはしないのに、長い距離にわたってきちんと秩序がある、そんな並びを許したら？ 実は、5回対称はそこで堂々と戻ってくる。それが 準結晶（quasicrystal）。準結晶は「結晶でないもの」ではなく、並進周期性はないが、長距離の秩序を持つ非周期結晶 だ。1982年に観測され、1984年に発表された。発見者のシェヒトマンは長いあいだ受け入れられなかったけれど、2011年にノーベル化学賞を受けた。「禁制」は、前提を一つ外すと破れる。

その話は、この道のいちばん最後にとっておく。（もっと読みたい人へ → 結晶に五角形がない理由）

次は、並進が混ざる

ここまでは「純粋な回転」だけを見てきた。でも周期結晶の対称には、もっと面白いやつがいる。回しながら、軸の方向にスッとずらす（らせん軸）。鏡に映しながら、面の中でずらす（映進面）。回転や鏡映に、最初の主役 ── 並進 ── が混ざってくる。

次は、その「混ざった操作」を見にいこう。