dx を v dt に書き換えていい理由 ── “約分”の正体は、置換積分

② 電位 で仕事を運動エネルギーに直すとき、途中でこんな書き換えをした。

$dx = \frac{dx}{dt}\,dt = v\,dt$

「$dx$ は少し進んだ距離だけど、それは少しの時間 $dt$ に進んだ距離でもある」と言って、$\dfrac{dx}{dt}$（＝速度 $v$）を掛けて $dt$ に化けさせた。さらにこの後、$\dfrac{dv}{dt}$ と $dt$ が 約分 されて消えた。

ここ、少し反則っぽく感じた人がいると思う。$dx$ や $dt$ を、まるで「小さな数」みたいに掛けたり約分したりしている。── でも、これは反則じゃない。ちゃんと名前のついた、正しい操作だ。その正体は 置換積分（変数変換） だよ。この回は、そこだけを腰を据えて開く。

まず、置換積分という道具

積分には「変数を取り替える」やり方がある。$\int f(x)\,dx$ の $x$ が、別の変数 $t$ の関数 $x(t)$ で書けるとき、こう取り替えられる：

$\int f(x)\,dx = \int f\big(x(t)\big)\,\frac{dx}{dt}\,dt$

これが 置換積分 だ。$x$ の世界での足し算を、$t$ の世界での足し算に翻訳している。ポイントは右辺に出てくる $\dfrac{dx}{dt}$ ── これは「$t$ が少し進むと $x$ がどれだけ進むか」という換算レートで、これを掛けないと、刻みの幅がズレてしまう。

なぜこの式が成り立つかは、微分積分の基本定理と連鎖律（合成関数の微分）から出る。原始関数を $F$（つまり $F'=f$）とすると、合成関数 $F(x(t))$ を $t$ で微分すると連鎖律で $F'(x(t))\cdot\dfrac{dx}{dt} = f(x(t))\dfrac{dx}{dt}$。だから右辺を $t$ で積分すると $F(x(t))$ が戻り、左辺の $\int f\,dx = F(x)$ とちゃんと一致する。── 天下りの規則じゃなく、連鎖律の言い換えなんだ。

“約分”は、その置換のことだった

では、さっきの $dx = v\,dt$ に戻ろう。これは置換積分の式の中の $dx \to \dfrac{dx}{dt}\,dt$ の部分そのもの だ。

仕事 $W=\int F\,dx$ を考える。物体の位置 $x$ は時間の関数 $x(t)$ で、物体が $x_0$ から $x_1$ まで動くあいだ、時間は $t_0$ から $t_1$ まで進む。ここで $x$ から $t$ へ変数を取り替えると、置換積分の規則どおり $dx$ が $\dfrac{dx}{dt}\,dt = v\,dt$ に変わり、積分の範囲も $x$ から $t$ に移る：

$W=\int_{x_0}^{x_1} F\,dx = \int_{t_0}^{t_1} F\,v\,dt$

「$dx = v\,dt$ と書いて入れ替える」という見た目の操作は、この変数変換を 手短にやっているだけ なんだ。$dx$ を「小さな距離」、$dt$ を「小さな時間」と思って $dx=v\,dt$ と書くと、ちょうど正しい置換と同じ式になる。

dt が消えるのも、もう一回の置換

②ではこの後、運動方程式 $F=m\dfrac{dv}{dt}$ を入れて、こうなった：

$W=\int m\frac{dv}{dt}\,(v\,dt) = \int m\,v\,dv$

$\dfrac{dv}{dt}$ と $dt$ が約分されて、$\dfrac{dv}{dt}\,dt$ が $dv$ になっている。これも同じ手品 ── こんどは $t$ から $v$ への置換だ。速度 $v$ も時間の関数 $v(t)$ だから、$t$ から $v$ へ変数を取り替えると $dv = \dfrac{dv}{dt}\,dt$。これを使えば、$t$ の世界の積分が、$v$ の世界の積分 $\int m\,v\,dv$ に移る。あとは $\int v\,dv=\tfrac12 v^2$ で、運動エネルギー $\tfrac12 mv^2$ が出てくる。

約分しているように見えるところは、全部「変数の取り替え（置換積分）」だ。

$dx,\,dt,\,dv$ を分数のように掛けたり消したりできるのは、その一回ごとが、裏で置換積分の規則に乗っているからなんだ。

なぜ、こんなに約分が“効く”のか

ここがいちばん面白いところだと思う。── ライプニッツが作った $\dfrac{dx}{dt}$ という記法は、「分数みたいに約分すると、ちょうど正しい置換積分になる」ように、わざとデザインされている。

だから $\dfrac{dx}{dt}\cdot dt$ を「$dt$ を約分して $dx$」と書いても、置換積分の規則と一字一句ずれない。記法のほうが、規則を覚えてくれているわけだ。これは、ただ便利というだけじゃなくて、良い記法は、正しい操作を“自然な手つき”に翻訳してくれる という見本になっている。私は、こういう「記号が考えを肩代わりしてくれる」瞬間が、けっこう好きなんだ。

正直に、端っこも置いておく。$dx$ や $dt$ は、厳密には「ゼロでない小さな数」ではない（本当にゼロで割るような操作ではない）。約分が効くのは、それが極限と連鎖律で支えられた置換のショートカットだから、というのが正確なところだ。物理で出てくる滑らかな運動（$x(t)$ がなめらかで、行きつ戻りつしない）なら、この手つきはいつでも正しい答えを返す。だから安心して約分していい ── ただ、その下では毎回、置換積分が静かに働いている。それだけ覚えておけば十分だよ。

（「$dx$ って結局なんなの？」をもっと深く追うと、微分形式という別の入り口に出る。そこでは $dx$ は“小さな数”でなく、長さを測るための道具そのものになる ── けれど、それはまた別の回の話にしておこう。）