電位とは、運んだ仕事のこと ── 電圧の正体を、歩いて掴む

「電圧」は、たぶん物理の中でいちばん早く出会う言葉だ。乾電池に 1.5V、コンセントに 100V、オームの法則 $V=RI$。中学から使っているから、すっかり顔なじみになっている。── でも、いざ「電圧って何？」と正面から訊かれると、急に答えに詰まる人が多い。

電流なら「電気の流れ」と言える。抵抗なら「流れにくさ」と言える。じゃあ電圧は？ ──「電気を押す力、みたいな…？」あたりで、たいてい言葉が濁る。名前を知っているのと、正体が掴めているのは、別のことだ。この回は、その濁りを一つずつほどいていく。

先に、行き先だけ言っておく。電圧の正体は、これだ。

電圧とは、単位電荷あたりの位置エネルギーのこと。

たぶん今は、まだ手触りがないと思う。「位置エネルギー」「単位電荷あたり」が、それぞれ何を指すのか。だからここでは、いったん電気を離れて、力学までいちど降りる。電位の正体は、力学の「仕事」と「位置エネルギー」を、そっくり電気に持ち上げただけのものだからだ。遠回りに見えて、これがいちばん近道になる。

① 場とは、測れる力のこと で、電荷のまわりに $\vec E = \vec F/q$ という “力の地図” を手に入れた。今回は、その地図の上を 歩いてみる。歩いた量を足し集めると、電位という、もう一枚の地図が立ち上がる。

まず、仕事 ── 力をかけて、運んだ量

力学に降りる。物体に力 $F$ をかけて、ある距離だけ動かす。このとき力が物体に渡した量を 仕事 と呼んで、こう定義する：

$W = \int F\,dx$

身構えなくていい。中身は「道を細かく刻んで、各歩で “力 × 進んだ距離” を求めて、ぜんぶ足す」だけ。力が一定なら、ただの $F \times$ 距離だ。

この仕事が、何になるのか。質量 $m$ の物体が直線上を動いていて、位置によって変わる力 $F$ を受けているとする（ばねの単振動みたいに）。ニュートンの運動方程式は $F = ma = m\dfrac{dv}{dt}$ ── 力は「質量 × 加速度」で、加速度は「速度が変化する速さ $\dfrac{dv}{dt}$」だ。これを、さっきの仕事の式にそのまま入れてみる：

$W = \int F\,dx = \int m\frac{dv}{dt}\,dx$

ここで、ひとつ書き換えをする。$dx$ は「ほんの少し進んだ距離」だけれど、それは「ほんの少しの時間 $dt$ のあいだに進んだ距離」でもある。だから $dx = \dfrac{dx}{dt}\,dt = v\,dt$ と書ける（$\dfrac{dx}{dt}$ は速度 $v$ そのものだから）。これを入れると、$\dfrac{dv}{dt}$ と $dt$ が約分されて、こうなる：

$W = \int m\frac{dv}{dt}\,(v\,dt) = \int m\,v\,dv$

積分の中身が「速度 × 速度のちょっとした変化」になった。$\displaystyle\int v\,dv = \tfrac12 v^2$ だから（$\int x\,dx = \tfrac12 x^2$ と同じ形だ）、始めの速さ $v_0$ から終わりの速さ $v_1$ まで足し上げると：

$W = \tfrac12 m v_1^2 - \tfrac12 m v_0^2$

きれいに、速さの2乗の差が出てきた。$\tfrac12 m v^2$ を 運動エネルギー と名づければ、いま出たのはこういう一文だ。

された仕事 ＝ 運動エネルギーの増加。

これが力学のいちばん素直な収支だ。物体に仕事をすると、ちょうどそのぶん、運動エネルギーが増える。逆に物体が外へ仕事をすれば、そのぶん運動エネルギーは減る。仕事は、エネルギーが出入りする “通り道” なんだ。

位置エネルギー ── 位置に、エネルギーを預ける

ここで、ちょっとした横着を思いつく。

重力の下で物を持ち上げて、また落とす。持ち上げるたびに「重力に逆らってした仕事は…」と毎回計算するのは、面倒だ。でも重力には、うれしい性質がある ── 高さ $h$ まで持ち上げるのに要る仕事は、いつも $mgh$ で、どんな経路で持ち上げても同じ。まっすぐ上げても、斜めに回り道しても、変わらない。

なら、いちいち仕事を計算せず、「その高さにいる」というだけで、預けたエネルギーが決まると考えていい。位置に、エネルギーを預けておくわけだ。これが 位置エネルギー $U$ だ。重力なら $U = mgh$、ばねなら $U = \tfrac12 k x^2$。

預けたものは、引き出せる。手を離せば、$U$ が運動エネルギーに変わりながら物が落ちていく。「位置エネルギー＋運動エネルギー＝一定」── 力学的エネルギー保存は、この預け入れと引き出しの帳尻のことだった。（この力学の土台 ── 仕事・運動エネルギー・位置エネルギーの関係 ── を腰を据えて追ったのが 仕事と力学的エネルギー だ。ここでは電気に持ち上げるのに要るぶんだけ、手早く組み直している。）

道によらない、という奇跡 ── 保存力

いまの話、さらっと流したけれど、実は奇跡みたいな性質に寄りかかっている。「どんな経路で運んでも、要る仕事が同じ」 という所だ。

これは当たり前じゃない。摩擦を思い出してほしい。机の上で荷物をA地点からB地点へ滑らせる。まっすぐ運べば摩擦の仕事は小さく、大回りすれば大きい ── 摩擦の仕事は、通った道の長さで変わる。だから摩擦には「位置エネルギー」を預けられない。「B地点にいる」だけでは、それまでにどれだけ熱に逃げたか決まらないからだ。

いっぽう重力やばねは、A→B の仕事が 始点と終点だけで決まり、途中の道によらない。こういう力を 保存力 と呼ぶ。

この「道によらない」が、なぜそんなに大事なのか。── ベクトルの面倒くささを、スカラー一つに畳めるから だ。

力 $\vec F$ は、各点で向きと大きさを持つベクトルだ。それを道に沿って積分するのは、本来けっこう手間がいる。でも保存力なら、その手間が要らない。各点にただ一つの数 $U$ を貼っておけば、A→B の仕事は $U_A - U_B$ という引き算だけで出る。 途中の経路を一切見なくていい。

山登りでたとえると、しっくりくる。どのルートで登っても、A地点とB地点の 標高差 さえ決まっていれば、重力に逆らって稼いだ仕事は同じだ。だから登山者一人ひとりのルートを記録する必要はなく、地図に 標高 さえ書き込んでおけば足りる。位置エネルギー $U$ は、ちょうどこの“標高”にあたる ── 向きも道のりも持たない、ただの数が、各地点に一つ。これは、地図がぐっと軽くなるということだ。── この「畳める」性質を、このあと電気でもう一度使う。覚えておいてほしい。

ついでに、保存力にはもう一つの顔がある。A から出て、ぐるっと回って A に戻ってくると ── 行きで預けたぶんを帰りで全部引き出すから、一周ぶんの仕事はきっかりゼロになる。閉じた道で足し上げるとゼロ。これは後で、静かに効いてくる。

電場も、保存力だった

舞台を電気に戻そう。①で見たとおり、止まっている電荷が作る電場 $\vec E$ の中に、試し電荷 $q$ を置くと、$\vec F = q\vec E$ の力を受ける。この力は、保存力だろうか？

答えはイエスだ。クーロンの力は、重力とそっくりの「中心から $1/r^2$ で広がる力」で（① のクーロンの法則）、重力が保存力だったのと同じ理由で、電気の力も保存力になる。実際、$\vec F = q\vec E$ と $\vec F = m\vec g$ は、もう①で同じ構造だと確かめた ── 質量 $m$ が電荷 $q$ に、重力場 $\vec g$ が電場 $\vec E$ に対応する。重力で位置エネルギー $mgh$ が預けられたなら、電気でも、電荷の位置にエネルギーを預けられるはずだ。

そこで、電荷 $q$ をある基準点からある点まで、電場に逆らってそっと運ぶ。要った仕事を $W$ とすれば、それがその点に預けた位置エネルギー $U$ だ。重力の $mgh$ の、電気版。── これで「位置エネルギー」の手触りはついた。残るは「単位電荷あたり」だ。

電荷あたりにすると、地図になる ── 電位

預けた位置エネルギー $U$ は、運んだ電荷 $q$ に比例する。電荷を2倍にすれば受ける力も2倍、要る仕事も2倍。当然だ。だから $U$ には、まだ「どれだけの電荷を運んだか」という、こちらの都合が混じっている。

①で電場を作ったときと、まったく同じ手を使おう。$q$ で割って、消す。

$V \equiv \frac{U}{q}$

これが 電位 だ。運ぶ電荷の都合が割り算で消えて、その場所だけで決まる量 が裸になる。①の $\vec E = \vec F/q$ が「電荷あたりの力」だったように、$V = U/q$ は「電荷あたりの位置エネルギー」── さっき行き先として置いた一文の、これが中身だよ。

単位で見ると、もっとはっきりする。仕事はジュール $[\mathrm{J}]$、電荷はクーロン $[\mathrm{C}]$ だから、電位の単位は $\mathrm{J/C}$ ── これに ボルト $[\mathrm{V}]$ という名前がついている。中学から使ってきた「ボルト」の正体は、$\mathrm{J/C}$＝「電荷1クーロンあたり、何ジュール預けたか」だったわけだ。数字で当ててみよう。ある点へ $1\,\mathrm{C}$ 運ぶのに $5\,\mathrm{J}$ の仕事が要るなら、そこは基準点より $5\,\mathrm{V}$ 高い。$2\,\mathrm{C}$ なら仕事は倍の $10\,\mathrm{J}$ だが、電荷で割れば同じ $5\,\mathrm{V}$ ── 運ぶ電荷を変えても、その場所の電位は動かない。①で力を電荷で割ると場所だけの量（電場）が残ったのと、まったく同じことが起きている。

計算の仕方も、地図の上を歩くだけだ。新しい記号 $\int \vec E\cdot d\vec l$ を、いつもの三段で開けておく。

• 手順 ── 基準点からその点まで、道を歩幅 $\Delta\vec l$ に刻む。各歩で「$\vec E$ の進行方向成分 × 歩幅」を求めて、ぜんぶ足す（場と進む向きが斜めなら、場のうち“進む向きぶん”だけが効く ── 坂を斜めに横切ると、傾きのうち進行方向ぶんしか足にこたえないのと同じ。記号 $\vec E\cdot d\vec l$ の「$\cdot$」が、その“向きぶんだけ取り出す”を表している）。
• 意味 ── 単位電荷を、電場に逆らってそこまで運ぶのに要る仕事。＝単位電荷あたりの位置エネルギー。
• 嬉しさ ── ベクトルの地図 $\vec E$ が、スカラー一枚の地図 $V$ に畳まれる。各点に、数字がただ一つ。

$V = \sum_i \vec E_i\cdot\Delta\vec l_i \;\;\xrightarrow[\ \Delta l\to 0\ ]{}\;\; \int \vec E\cdot d\vec l$

さっき保存力の所で「ベクトルをスカラーに畳める」と言ったのは、これのことだ。電場という矢印だらけの地図が、電位という、ただ高い・低いの地図に圧縮される。等高線の地図みたいに。── 地図が軽くなった、と感じてもらえたら、この回の山は越えている。

電位は位置エネルギーと同じで、基準点を自由に選べる（どこを 0V と決めるかはこちらの勝手）。だから本当に意味があるのは、2点の電位の 差 ── これを 電位差 と呼ぶ。そして、

電圧とは、2点間の電位差のことだった。

最初の「電圧って何？」に、これで答えが出た。テスターを2点に当てて読んでいるあの数字は、$\int \vec E\cdot d\vec l$ ── 単位電荷をその2点間で運ぶのに要る仕事を、ずっと測っていたわけだ。

正体を、回路で確かめる

掴んだ正体を、身近な所で当ててみよう。

金属の中は、電位差ゼロ。 金属には自由に動ける電子がいる。もし金属内の2点に電位差があれば、電子はその坂を転がって動き、差を消してしまう。落ち着いた状態では、金属のかたまりは丸ごと同じ電位（等電位）になる。回路図でつないだ導線を「ただの線」として電位を気にせず描けるのは、これが理由だ ── 導線は、同電位の点をつなぐ等電位の線なんだ。

正電荷は、電位の低い方へ転がる。 位置エネルギーは $U = qV$ だから、正電荷($q>0$)は $V$ の低い所ほど居心地がいい（$U$ が小さい）。坂を下る石ころと同じで、放っておけば電位の低い方へ動く。負電荷は逆に、電位の高い方へ行きたがる。電池が電位差を作り、その坂を電荷が流れ落ちる ── これが回路に電流が流れる、いちばん素朴な絵だ。

地図を、見る ── 等電位面と、点電荷の電位

せっかくなので、地図を一枚、手で描いてみる。点電荷 $Q$ のまわりの電位だ。

①と⑥で、点電荷の電場は $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ と分かっている（⑥ ガウスの法則）。これを、無限遠を基準（$0\,\mathrm{V}$）にして、距離 $r$ の点まで足し上げる。積分の中で動くのは $1/r'^2$ の部分だけで、その原始関数は $\displaystyle\int \frac{1}{r'^2}\,dr' = -\frac{1}{r'}$ ── これを使うと：

$V(r) = \int_r^{\infty} \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r'^2}\,dr' = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left[-\frac{1}{r'}\right]_r^{\infty} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(0 - \left(-\frac{1}{r}\right)\right) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$

上端の無限遠では $-1/r'$ がゼロになって、基準に決めた $0\,\mathrm{V}$ とちゃんと噛み合う。下端の $r$ だけが残って、$V = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$。電場は $1/r^2$ で薄まるのに、それを足し集めた電位は $1/r$ ── 一つ緩やかになる。足し算（積分）が、薄まり方を一段やわらげるんだ。

同じ電位の点をつないでいくと、等電位面（2次元の図なら等電位線）が描ける。地形図の等高線と、まったく同じ読み方でいい。そして大事な関係が一つ：電場 $\vec E$ は、いつも等電位面に直角を向き、電位の下り坂の向きを指す。

「地形の高さが電位、その下り坂が電場」── この一枚の絵を持っておくと、$\vec E = -\nabla V$（場は電位の傾きにマイナスをつけたもの）という式も、もう怖くない。坂を下る向き（だからマイナス）に、急なほど強く、場が向いている、と言っているだけだ。

じつは、この“電位の地形”には、前にも一度のぼっている。④ 源を足して、場を作る で、源ひとつの返事 $1/r$ を足し集めて作った ポテンシャルの地形 $\phi$（山と井戸でできた、あの等高線の地形）── あれと、今日の電位 $V$ は、同じ一枚の地図だ。名前すら同じものを指していて、電気の文脈では「ポテンシャル＝電位」と言っていい。ただ、登り口が違う。④は 源の側から積み上げて 作った（$\phi=\textstyle\sum kq/r$、いわば地図の“作り手”の目）。今日は、できあがった場を 歩いて足して測った（$V=\int\vec E\cdot d\vec l$、地図の“測り手”の目）。そして ⑦ 源はポテンシャルを曲げる は、その地形を源がどれだけ曲げるかの式（ポアソン $\nabla^2\phi=-\rho$）だった。源から積む・まわりでならす・歩いて測る ── どの入り口から入っても、立ち上がるのは同じ地形だ。この連載でくり返し出てくる「同じものへの、別の入り口」が、電位でもまた顔を出している。

下のラボで、この地図を触ってほしい。電荷を置くと電位の地形（色）と等電位線が浮かび、場の矢印が等電位線に直角に刺さるのが見える。2点を選んで運ぶ道をぐにゃぐにゃ変えても、要る仕事（＝電位差）が 道によらず同じ になること ── この回の山だった「保存力」を、指で確かめられるようにした。

道によらない、その先

電位という地図が描けたのは、ぜんぶ「電場が保存力だった」おかげだ。一周ぐるっと回れば仕事はゼロ、$\oint \vec E\cdot d\vec l = 0$ ── だから各点に高さを一つ貼れた。

ただ、これは静かな世界の話だということも、正直に置いておきたい。いま運んだのは、止まった電荷が作る、止まった場だった。電荷が動き出し、場が時間とともに変わりはじめると、この「一周ゼロ」という安心は、揺らぐ。一周して戻ったのに、仕事がゼロにならない瞬間がある。── 等高線の地図が描けなくなる、その揺らぎの所に、電磁気のいちばん面白い景色が待っている。地図を手にしたいまは、まずこの上を歩けるのを、楽しんでおこう。