ガウスの法則を、道具にする ── 対称性で、場を一発で出す

② 電位 で、場の上を歩けば電位が出ると分かった ── $V = \int \vec E\cdot d\vec l$。でも、これには前もって 場 $\vec E$ そのもの が要る。歩く地図がなければ、歩けない。

その $\vec E$ を、いまはどう出していたか。① クーロンの法則 で源ひとつの $1/r^2$ を覚えて、源がいくつもあればその矢印を足す（重ね合わせ）。これは正しいけれど、骨が折れる。源が点ならいい。でも、電荷が金属の棒のように線に沿って連続に乗っていたり、平らな板いっぱいに塗り広げられていたら、足すべき源は無限個 ── 各点で無限本の矢印を $\cos/\sin$ で分解して足す、なんてやっていられない。

もっと楽な道はないか。── ある。電荷の並び方に 対称性 があるときに限って、源を一個も足さずに、場が一発で出る。今日はその道具を、手に馴染ませる。

道具の正体 ── 囲んで、数える

使う道具は、⑥ 発散とガウスの法則 で「なぜ成り立つか」までやった、あの法則だ。ここでは中身の証明は⑥に預けて、使い方 に集中する。形だけ思い出しておこう：

$\oint \vec E\cdot d\vec A = \frac{Q_{\text{中}}}{\varepsilon_0}$

言葉に直すと一文。どんな形でもいいから閉じた面で囲って、その面を貫いて外へ出ていく電場（フラックス）を数えると、中に入っている電荷の総量（を $\varepsilon_0$ で割ったもの）に等しい。 左辺の $\oint \vec E\cdot d\vec A$ は「閉じた面ぜんぶで、貫く分を足す」という印 ── ⑥でフラックスとして触ったやつだ。右辺は「囲んだ中の電荷」。面の形には一切よらず、中身だけで決まる。

ここで、ちょっと不思議に思ってほしい。左辺には知りたい $\vec E$ が入っているのに、右辺は「中の電荷」というすでに知っている量だ。ということは、この等式を $\vec E$ について解けば、場が出るのでは？ ── 半分は当たり。でも左辺は積分（足し算）だから、ふつうは $\vec E$ をくくり出せない。くくり出せるための、たった一つの条件 ── それが 対称性 だ。

手品のタネは、面の選び方

ガウスの法則そのものは、どんな閉じた面でも成り立つ。でも場を 出す 道具として使えるのは、面をうまく選んだときだけだ。狙いはこう：

その面の上で、$\vec E$ の大きさが一定になり、しかも面に対して垂直（または平行）になるように、囲む面を選ぶ。

そういう面が選べると、左辺の足し算が、ただの掛け算につぶれる。$\vec E$ が面に垂直で大きさ $E$ で一定なら、$\oint \vec E\cdot d\vec A$ は $E \times (\text{その面の面積})$ になるからだ（面に平行な所は貫かないので $0$、垂直な所だけが効く）。すると：

$E \times (\text{面積}) = \frac{Q_{\text{中}}}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{Q_{\text{中}}}{\varepsilon_0 \times (\text{面積})}$

積分が消えて、割り算ひとつで $E$ が出た。── これが道具の三段だ。

• 手順 ── 電荷の対称性を見て、「$E$ が一定＆垂直になる」閉じた面を選ぶ。$\oint \vec E\cdot d\vec A = E\times$面積 とおき、$=Q_{\text{中}}/\varepsilon_0$ を $E$ について解く。
• 意味 ── 中の電荷が外へ撒くフラックスを、対称な面で均等に受け止めている。面積で割れば、一点あたりの強さ＝場。
• 嬉しさ ── 源を一個ずつ足す積分が、まるごと要らなくなる。対称性のある所では、これが最短路だ。

肝心なのは、面（ガウス面）を電荷の対称性に合わせて選ぶ こと。点には球、線には円柱、面には箱 ── この対応さえ手に入れば、あとは面積を書くだけだ。順にやってみよう。

点電荷 ── 球で囲うと、クーロンが戻ってくる

まず点電荷 $Q$。場は中心から放射状に、どの向きにも同じ強さで出ているはずだ（向きを区別する理由がどこにもないから ── これが対称性だ）。なら、囲む面は 中心 $Q$ をくるむ半径 $r$ の球 が素直だ。球の上ではどこでも $\vec E$ は外向き垂直、大きさは同じ $E$。

球の表面積は $4\pi r^2$ だから、フラックスは $E \times 4\pi r^2$。これが中の電荷 $Q$ を $\varepsilon_0$ で割ったものに等しい：

$E \times 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$

見覚えがあるよね。── これは①のクーロンの法則 $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ そのものだ。出発点だったクーロンが、ガウスから 戻ってきた。①で「$1/4\pi\varepsilon_0$ の $4\pi$ は、球の表面積の $4\pi$ と後で打ち消し合う」と予告しておいたのは、これのことだった ── いまちょうど、$4\pi r^2$ の $4\pi$ と相殺している。点電荷では、ガウスはクーロンと同じ答えを返す“確かめ算”になっている。本領は、次の二つだ。

無限に長い線 ── 円柱で囲う

こんどは、電荷が細い棒に沿って一様に乗っている（線電荷）。1メートルあたりの電荷を $\lambda$（線電荷密度）とする。棒のまわりの対称性は、点とは違う ── 棒からの距離 $r$ が同じなら、場は同じ強さで、棒に対して 真横（放射状） を向く。棒に沿ってどこへずれても景色は変わらない。

この対称性に合う面は、棒を芯にした半径 $r$・長さ $L$ の円柱 だ。円柱の 側面 では $\vec E$ は外向き垂直で一定。上下のふた では $\vec E$ は面と平行（横向き）に通り抜けるだけなので、貫かない＝フラックス $0$。だから効くのは側面だけ。側面の面積は $2\pi r \times L$（円周 × 長さ）：

$E \times 2\pi r L = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$

両辺の $L$ が消えるのが気持ちいい（場は棒の長さの取り方によらない ── 無限に長い、の意味だ）。点電荷では $1/r^2$ だったのに、線では $1/r$。薄まり方が一段ゆるい。理由も対称性にある：点は球面（$\propto r^2$）に薄まるのに、線は円柱の側面（$\propto r$）にしか薄まらないから、一つ分ゆるくなる。

無限に広い面 ── 箱で囲うと、距離によらない

最後に、電荷が広い板いっぱいに一様に塗られている（面電荷）。1平方メートルあたりの電荷を $\sigma$（面電荷密度）とする。対称性はさらに違って、場は板に 垂直 に、両側へまっすぐ出る。板に平行にどこへずれても、板に近づいても遠ざかっても（無限に広いので）、強さは変わらないはずだ。

合う面は、板をまたぐ箱（板の表と裏に面積 $A$ のふたを持つ、薄い箱）。箱の 表と裏のふた では $\vec E$ が垂直に出ていく ── 効く面積は両側で $2A$。箱の側面（板に垂直な壁）では $\vec E$ は面と平行に走るだけで貫かない＝$0$。箱の中の電荷は $\sigma A$：

$E \times 2A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

$A$ が消えて、残った $E$ には $r$ が入っていない。── 無限に広い板の場は、離れても弱くならない。点や線の感覚だと意外だけど、これも薄まりの話で読める：点は球面に、線は円柱面に薄まったが、無限平面は「広がる先」がない（どこまで行っても同じ無限平面が目の前にある）から、薄まりようがないんだ。

コンデンサ ── 板を2枚、重ねて足す

板を1枚やったら、応用はすぐそこだ。コンデンサ＝向かい合う2枚の板に、$+\sigma$ と $-\sigma$ を持たせたもの。場は、2枚それぞれが作る $\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ を 重ね合わせる（①の足し算）だけで出る。

• 板と板のあいだ：$+$ の板からは外（右）へ、$-$ の板へは内（右）へ ── 二つの場が 同じ向き にそろって、足されて2倍：$E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$。
• 板の外側：2枚の場が 逆向き にぶつかって、ぴたり打ち消し合う：$E = 0$。

あいだに 一様な場 だけを閉じ込め、外には漏らさない ── これが電気を溜める入れ物、コンデンサの素の姿だ。一様だから、あいだの電位差（電圧）も素直に出る。場が一定 $E$、板の間隔が $d$ なら、②の歩いて足す $V=\int E\,dl$ は、ただの掛け算 $V = E\,d = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}d$ になる。場を出す道具（ガウス）と、場を歩く道具（②の電位）が、ここで噛み合う。

②へ、つなぐ ── 場を出して、歩く

最後に、今日の道具を②と結んでおく。②で「歩く地図が要る」と言ったのは、まさにこの $\vec E$ のことだった。ガウスで場を出して、②で歩けば、電位が出る。

点電荷で確かめよう。ガウスで $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ を出し、これを②の流儀で無限遠から足し上げる：

$V(r) = \int_r^{\infty} \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r'^2}\,dr' = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$

②で出した点電荷の電位 $V = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$ が、ちゃんと戻ってくる。ガウスで $E$ を出す → ②で歩いて $V$ にする ── この二段が、電場まわりの計算のいちばん使う型だ。線電荷でも面でも、同じ二段で電位まで出せる（線なら $V$ は $\log$ 型、平板なら一次関数）。

下のラボで、対称性とガウス面の対応を手で掴んでほしい。点・線・面を切り替えると、それに合うガウス面（球・円柱・箱）が立ち上がり、面積で割るだけで場が出る ── その「面の選び方で積分が消える」瞬間を、目で追えるようにした。

ガウスがこんなに楽なのは、対称性という特別な贈り物があったからだ。電荷がいびつに散らばっていたら、この手は使えず、また源を一つずつ足す世界（④ 源を足して、場を作る）へ戻る。けれど、対称性さえあれば、囲んで数えるだけで場が落ちてくる ── ①が挙げた電磁気の“5つの芯”の、その1番目を、これで道具として手にしたことになる。