2次元の波 ── 波紋・干渉・ホイヘンス、そしてエイリアシングへの脱線

これまで 波を1次元（弦や管）で見てきた。今度は、水面のように2次元へ広げる。

ここから先しばらくは、「波・場・力」を底で貫く2つの素朴な動きを、見える物理で手に馴染ませていくつもりだ ── ひとつは 足し合わせる（重ね合わせ）、もうひとつは 湧きも消えもしない（保存）。今日はその一歩目、足し合わせ の側を掴む。

点源の波紋 ── 一発叩いたときの返事

静かな水面に、石をひとつ落とす。すると、落ちた点を中心に、丸い波が等速で広がっていく。

このとき大事なのは、水そのものは外へ流れていかない こと。各点は上下しているだけで、外へ伝わるのは「山と谷の輪」というパターン（位相）のほうだ。1次元のときと同じ ── 伝わるのは形であって、もの自体じゃない。

この「点をひとつ叩いたときの、丸く広がる返事」を、しっかり覚えておいて。あとで効いてくる、いちばん基本の部品なんだ。下の遊び場の最初の状態がそれだよ。

干渉 ── 波の足し算が、目に見える

波源を 2つ にしてみよう（上の「2つ（干渉）」を押す）。2つの丸い波が重なる場所では、ただ 足し算 が起きる。山と山が重なれば倍の山に、谷と谷なら倍の谷に（強め合い）。でも山と谷がぶつかると、打ち消し合って水面は静かになる（消し合い）。この縞模様が 干渉 だ。

式で見るとすっきりする。2つの波源からの距離を $r_1, r_2$ とすると、重なった波は

$\cos(kr_1-\omega t) + \cos(kr_2-\omega t) = \underbrace{2\cos\!\frac{k(r_1-r_2)}{2}}_{\text{場所で決まる強さ}}\;\cos\!\Big(k\tfrac{r_1+r_2}{2}-\omega t\Big)$

前半の $2\cos\frac{k(r_1-r_2)}{2}$ が、その場所の縞の濃さを決める。鍵は 2つの波源からの道のりの差 $\Delta = r_1 - r_2$ だけ。

• $\Delta = n\lambda$（道のり差が波長の整数倍）→ いつも同じ位相で届く → 強め合い。
• $\Delta = (n+\tfrac12)\lambda$（半波長ずれ）→ いつも逆位相 → 消し合い。

だから縞は、2つの波源からの距離の差が一定の線（双曲線）に並ぶ。波長 $\lambda$ や波源の間隔 $d$ を変えると縞が動くのを、遊び場で確かめてみて。「波の足し算」そのものが、模様として見えている んだ。

身のまわりにもある。2つのスピーカーから同じ音を流すと、部屋の中に「よく聞こえる場所」と「妙に小さい場所」が縞状にできる。光でやれば、二重スリットを通した光がスクリーンに明暗の縞を描く ── 光が波だという、いちばん有名な証拠だ。水でも音でも光でも、起きているのは同じ「道のり差ぶんだけずれた波の足し算」だよ。

ホイヘンス ── 波面は、無数の点源の足し算

もうひとつ「足し算」が効く。波源を 横一列に並べる（「ホイヘンス」を押す）。すると、たくさんの丸い波が足し合わさって、右へ進む まっすぐな平面波 が立ち上がる。端の方には丸みが残るけれど、真ん中は見事に平らだ。

これが ホイヘンスの原理：いまある波面の各点を「小さな丸い波（素元波）を出す点源」とみなすと、その無数の素元波の 足し算（包絡線） が、次の瞬間の波面になる。波がまっすぐ進むのも、隙間で回り込む（回折する）のも、角で曲がる（屈折する）のも、ぜんぶ「点源の波紋を足すと、こうなる」で説明できる。

たとえば、波が 障害物の陰に回り込む（回折）のもこれで分かる。狭い隙間を波が通ると、向こう側で扇形に広がる ── 隙間の中の各点が点源になって、丸い波を撒くからだ。隙間が波長に比べて狭いほど、源の数が足りずに“まっすぐ”を保てなくて、ぐっと広がる。逆に隙間が広いと、たくさんの点源が揃ってまっすぐ進む。同じ「点源の足し算」ひとつで、直進も回り込みも、両方ちゃんと出てくる。

点源の応答さえ分かれば、それを並べて足すだけで、複雑な波の振る舞いが全部出てくる ── この「一発の返事を、たくさん足す」が、これから何度も顔を出す主役だよ。

その「並べて足す」に、つまみをひとつ足すと、いきなり実用になる。各点源の タイミング（位相）を少しずつずらす んだ。すると、足し合わさってできる平面波が 斜めに傾く。源を機械的に動かさなくても、位相だけで波の向き（ビーム）を自在に振れる。これが ビームフォーミング（フェーズドアレイ）── レーダーや 5G の基地局アンテナ、超音波エコーが、まさにこれで“首を振らずに”狙いを定めている。並んだ点源の干渉が、そのまま向きを操る道具になるんだ。素子の間隔と位相差を動かして、主ビームが首を振るのを下で触ってみて。

▶ 波の干渉とビームフォーミングを触る ↗

ゾーンプレートと、湧いてくる“嘘の波”

同心円つながりで、いちばん極端なやつを見せたい ── ゾーンプレート。中身は $\sin(\alpha r^2)$ ── 半径の 2乗 に比例して位相が回るので、外へ行くほど縞が細かくなる「2次元のチャープ（うなり）」だ。

この模様には、面白くて少し怖い性質がある。粗く見る（粗くサンプリングする）と、本物には無いニセの渦・モアレがブワッと湧く。これが エイリアシング。細かすぎる縞を、それより粗い目盛りで拾おうとすると、拾い損ねた分が「実在しない、もっと大きな波」に化けて見えてしまう（ナイキストの限界を超えた、という）。

ここには、この連載の隠れたテーマがひとつ顔を出している ── 「見ること」そのものが、無いものを作り出すことがある。だから可視化は、いつも「これは本物か、見方が生んだ幻か」を疑う必要がある。ゾーンプレートは、その良心を試す最高のテストパターンなんだ。点サンプリング（ただ拾う）と面積平均（ならして拾う＝アンチエイリアス）の違いまで、別ページで触れるよ。

▶ ゾーンプレートでエイリアシングを見る ↗

…と、同心円ひとつから、ずいぶん遠くまで来てしまった。ちょっと脱線しすぎたかな。波に戻ろう。

消えた波は、どこへ行ったのか

さっきの干渉に、ひとつ引っかかりを残してきた。「消し合い」の線では、水面はぴたりと静かだった。波が、消えた。── そこにあったエネルギーは、どこへ行ったんだろう？

消えてはいない。消し合いの線で失われたぶんは、ちょうど 強め合いの線に寄せられている。全体をならして数えれば、エネルギーの総量は、波源が出したぶんのまま、変わらない。足し算（重ね合わせ）は、何かを新しく生みもしないし、消しもしない。 ただ、置き場所を変えているだけなんだ。

これは、当たり前のようでいて、物理のいちばん深い骨の一つに繋がっている ── 「湧きも消えもしない量がある」。次からはこの 保存 の方を、見える物理でゆっくり掴んでいく。波が消えたように見えた所で「で、エネルギーは？」と問える人は、もう半分その骨に触れているよ。