重ね合わせ ── 一発の応答を、足し合わせる

前回 は、点をひとつ叩くと丸い波が広がること（点源の応答）、そしてそれを並べて足すと干渉・ホイヘンス・ビームフォーミングになることを見た。今日は、その「足す」を、もっと素朴で、もっと強力な道具として正面から掴む。

底にあるのは、たったひとつの考えだ ── 一発叩いたときの返事さえ分かっていれば、どんなに複雑な入力に対する答えも、その返事の“足し算”で出てしまう。 これが 重ね合わせ。波でも、回路でも、場でも、同じ手が効く。

一発の応答 ── インパルス応答

まず「一発叩く」を決める。ごく短く、鋭く、一回だけ突く。これを インパルス（撃力）という。それに対するシステムの返事が インパルス応答 $h$ だ。

• 水面をちょん、と突けば → 丸い波紋が広がる。
• 鐘を一回叩けば → ポーンと、決まった音で鳴って減衰する。
• ばね玉の鎖 の一個を弾けば → 波が走って、端で跳ね返る。
• コンデンサに一瞬だけ電流を流せば → スッと充電して、ゆっくり放電する。

システムごとに、この「一発の返事 $h$」の形は違う。でも、いったん $h$ が分かると ── 次がすごいんだ。

どんな入力も、応答の足し算

複雑な入力は、たくさんの小さなインパルスの列 だと思える。各瞬間に、その時の強さだけ突いている、と。

システムが 線形（後で効いてくる大事な言葉）なら、返事も足し算でいい。各インパルスが、自分の強さ倍した $h$ のコピーを、自分のタイミングに置く。それを全部足したものが、出力だ。

式で書くと、こうだ：

$y(t) = \int x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau$

入力 $x$ の各点 $\tau$ が、強さ $x(\tau)$ の応答 $h$ を $\tau$ だけずらして置き（$h(t-\tau)$）、それを全部足す（積分）。この操作を 畳み込み（コンボリューション） と呼ぶ。

言葉だと固いけれど、絵にすると一目だ ── $h$ を反転して、入力の上を滑らせ、重なりを掛けて足す。下の「畳み込みスライダ」で、その「滑らせて足す」を手で動かせる。画像なら、小さなカーネル（＝2次元の $h$）を写真の上で滑らせる『畳み込みを一歩ずつ』も、まったく同じことだよ。

▶ 畳み込みスライダを触る ↗ 画像の畳み込みを一歩ずつ ↗

もうひとつの足し算 ── フーリエ

足し算で分解するやり方は、もうひとつある。インパルス（点）で刻む代わりに、サインの波 で刻むんだ。どんな形も、いろんな振動数のサインを足し合わせれば作れる ── これが フーリエ の考え方。

『Fourier スケッチブック』に好きな形を描くと、それが回る円（＝サイン）の重ね合わせとして組み立て直されていく。点で足すか、サインで足すか ── ものさし（基底）が違うだけで、やっていることは同じ「単純な部品に分けて、ひとつずつ解いて、足し戻す」だ。

▶ Fourier スケッチブックで描く ↗

なぜサインの基底がそんなに嬉しいのか ── 実は、畳み込みが、サインの世界では“ただの掛け算”に化ける、という気持ちのいい話がある。それは信号の回にとっておくよ。

なぜ足し算でいいのか

ここまで何度も「線形なら」と但し書きを付けてきた。そこに触れておきたい。

線形 というのは、「2つを一緒に入れた返事 ＝ それぞれの返事の和」が、きっちり成り立つこと。当たり前に見えて、これは当たり前じゃない。世界がこの性質を持っているおかげで初めて、私たちは複雑なものを部品に分け、ひとつずつ解いて、足し戻せる。全体は、部品の和でぴったり ── 余りも、欠けもない。

そして、成り立たない世界もある。非線形 ── 大波が崩れる所、歪むほど鳴らしたスピーカー、乱流。そこでは2つの波が混ざって、元になかった新しい振動数が生まれたり、足し算があっさり壊れたりする。1と2を入れても、返事は「1の返事 ＋ 2の返事」にならない。

だから「足し算でいい」は、世界からの 贈り物 みたいなものなんだ。波や場が、こんなに素直に分解して足せるのは、その多くが（少なくとも小さく叩くうちは）線形だから。

そして、足し算が効くということは ── たった一発の応答 $h$ さえ知れば、そのシステムの“ぜんぶ”が分かる、ということでもある。次は、この考えを「場」に持ち込んでみよう。空っぽの空間に、源をひとつ置く。まわりに何が、どう広がるのか。そこから、自然界をいちばん深く貫く骨の一本が、見えてくる。