場は、どこで渦を巻くか ── 循環とcurl

② 電位 の最後に、ひとつ宿題を置いたまま来た。電場の中を電荷がぐるっと一周して戻ると、行きで預けたぶんを帰りで全部引き出すから、一周ぶんの仕事はきっかりゼロ ── 記号で書けば $\oint \vec E\cdot d\vec l = 0$。この「一周ゼロ」のおかげで、各点に高さ（電位）を一つ貼れた、という話だった。

でも、そのすぐ後にこう続けた ── 場が時間とともに変わりはじめると、この「一周ゼロ」が揺らぐ。一周して戻ったのに、仕事がゼロにならない瞬間がある、と。その「一周ぶん」を宙ぶらりんにしたまま、②を閉じていた。

今日は、その 「一周ぶん」を正面から道具にする。一周してどれだけ戻ってこないか ── これを測れるようになると、場の中に隠れた「渦」が見えてくる。そして、それは偶然じゃなく、③ ガウスの法則 でやった「囲んで数える」の、ちょうど双子だ。③は 面 で囲って、外へ湧き出す量（フラックス）を数えた。今日は 輪 で囲って、まわりを巡る量を数える。面と輪 ── 場を読む道具が、これで両輪そろう。

一周ぶんを、名前で呼ぶ ── 循環

まず、②で書いた $\oint \vec E\cdot d\vec l$ を、電気から少し離して、もっと一般の「流れ」で考える。各点に矢印が刺さった地図 ── ベクトル場 $\vec v$ ── があるとして、その中に閉じた輪っかを一本、描く。その輪に沿ってぐるっと一周しながら、各歩で「進む向きに、流れがどれだけ押してくれたか」を足し集める。これを 循環（じゅんかん） と呼んで、こう書く：

$\Gamma = \oint \vec v\cdot d\vec l$

記号を一つずつほどこう。$d\vec l$ は「輪に沿ってほんの少し進む、その歩み」。$\vec v\cdot d\vec l$ の「$\cdot$」は、②でも出てきた 内積 で、「流れ $\vec v$ のうち、進む向きぶんだけを取り出す」という印だ（流れが進行方向と同じ向きならまるごと足され、横向きなら効かない、逆向きなら引かれる）。そして $\oint$ の丸は「閉じた道で一周して足す」という合図。── つまり全体で、いつもの三段に開けばこうなる。

• 手順 ── 閉じた輪を歩幅 $d\vec l$ に刻み、各歩で「流れの進行方向成分 × 歩幅」を求めて、一周ぶん足す。
• 意味 ── その輪を一周するあいだ、流れに 押された分と逆らった分の収支。一周して、どれだけ「得」をしたか。
• 嬉しさ ── 場が「回っているか」を、たった一つの数で掴める。プラスなら流れに乗って一周できる＝回っている。ゼロなら、行きで得した分を帰りで損して、差し引きなし。

②の $\oint \vec E\cdot d\vec l$ は、この循環の電場版だったわけだ。②では「電場なら、これはいつもゼロ」と分かった。じゃあ、ゼロにならない流れって、どんな流れだろう。── それを見るのに、いちばん素直な舞台がある。水だ。

流れに、羽根車を浮かべる

②で電気をいったん力学まで降ろしたように、ここでも電気を離れて、流れる水に降りる。「回っている」を、目で確かめられる場所だからだ。

道具は、小さな 羽根車 ひとつ。風車のミニチュアみたいに、軸のまわりに何枚かの羽根がついた、手のひらより小さなやつを想像してほしい。これを流れにそっと浮かべる。羽根車が、その場でくるりと自分の軸を回しはじめたら、そこには「回転」がある。 回らずにただ流されていくだけなら、そこに回転はない。

これは、さっきの循環を「一点で」感じ取る測定器だ。羽根車のまわりの小さな輪を、流れが一周ぶん押していれば、羽根車は回る。押しが釣り合っていれば、回らない。── では、いくつかの流れに浮かべてみよう。

まず、一様な流れ。川の真ん中のように、どこでも同じ向き・同じ速さで水が動いている。羽根車は下流へ流されていくけれど、回らない。左の羽根も右の羽根も、上の羽根も下の羽根も、まったく同じ強さで押されるから、回す力が釣り合ってしまう。循環はゼロだ。

次に、いかにも「回ってそうな」渦。排水口の上のように、水がぐるぐる巻いている。これは当然、羽根車も巻き込まれて回る。循環はゼロじゃない。── ここまでは、直感どおり。

問題は、その間にある、地味な流れだ。

まっすぐでも、回る ── 回転は「隣との速度差」

ずり流れを考える。水は まっすぐ 同じ向き（右）に流れている。ただし、上のほうが速くて、下のほうが遅い。川で言えば、岸に近いほど遅く、中央ほど速い、あの感じだ。

ここに羽根車を浮かべると ── 回る。

ちょっと意外じゃないだろうか。流れはどこを見てもまっすぐ右向きで、少しも曲がっていない。なのに羽根車は回る。理由は、羽根車の上側と下側で、押される強さが違うからだ。上の羽根は速い流れに強く押され、下の羽根は遅い流れに弱く押される。上だけ強く右へ送られれば、車はころりと回りはじめる ── ちょうど、ベルトコンベアの段差にペンを置くと、速い側に引かれて転がるように。

ここが、この回のいちばん大事な一歩だ。「回転」は、流れがぐるぐる巻いていることじゃない。隣り合う場所の、速度の差のことだ。 まっすぐな流れにも回転は潜むし、逆に ── これは脱線だけれど ── 排水口の渦のように見るからに巻いていても、流れの巻き方しだいでは、運ばれていく羽根車自身は自転しないことすらある（外側ほど遅く巻く特別な渦だと、押しがちょうど釣り合う）。見た目の「回ってる感」と、羽根車が拾う局所の回転は、別物なんだ。── と、つい話したくなるけれど、いまは「羽根車が回るか・回らないか」だけ握って、先へ進もう。

一点に絞る ── curl（回転）

循環 $\oint \vec v\cdot d\vec l$ は、輪っかを一本決めて初めて計算できる量だった。大きな輪で測れば大きく、小さな輪で測れば小さく出る。これだと「場所」ではなく「輪」の量だ。羽根車は、もっと一点の話をしている ── その場所そのものが、どれだけ回す力を持っているか。

そこで、輪をどんどん小さく縮めて、一点に絞る。ただし小さい輪は循環も小さくなるから、輪が囲む 面積で割って おく。こうして「一点あたりの循環」を取り出したものが、回転（curl、カール） だ。

$\text{回転（curl）} = \lim_{\text{輪}\to\text{一点}}\ \frac{\oint \vec v\cdot d\vec l}{\text{輪が囲む面積}}$

• 手順 ── ある点のまわりに小さな輪を取り、循環を測り、輪の面積で割る。輪を縮めた極限の値が、その点の回転。
• 意味 ── その点に浮かべた羽根車の、回る速さと向き。＝局所の「隣との速度差」。
• 嬉しさ ── 「輪しだいで変わる」循環が、各点にただ一つ貼れる量（場）になる。電位のときに、ベクトルの地図をスカラーの地図に畳んだ ── あれと同じ「各点に一つ」の身軽さだ。

回転は、向き（羽根車の軸の向き）と大きさ（回る速さ）を持つから、本当は ベクトル で、$\nabla\times\vec v$（ナブラ・クロス）とも書く。けれど、いま水面の上で考えているような平面の話なら、軸は紙面に垂直と決まっているので、向きは「時計回りか、反時計回りか」の符号ひとつ、大きさは「回る速さ」ひとつ ── つまり 数ひとつ だと思って構わない。重たく身構えなくていい。curl とは「その点に置いた羽根車が、どっちにどれだけ回るか」── それだけの量だ。

ガウスの双子 ── 面で囲う／輪で囲う

ここで、一歩引いて見ると、③でやったことと、いまの話が、きれいに対になっているのに気づく。

③（と⑥）では、閉じた面で囲って、外へ貫いて出ていくフラックスを数えた。そして「面ぶんのフラックス＝中に詰まった 湧き出し（発散） の総和」だった ── これがガウスの法則（発散の定理）。湧き出しは、面で捕まえる。

今日は、閉じた輪で囲って、まわりを巡る循環を数えた。そしてまったく同じ理屈で、「輪ぶんの循環＝中に詰まった 渦（回転） の総和」が成り立つ。こちらには ストークスの定理 という名前がついている。渦は、輪で捕まえる。

$\underbrace{\oint \vec v\cdot d\vec A = \sum(\text{中の湧き出し})}_{\text{ガウス：面で囲う}} \qquad\qquad \underbrace{\oint \vec v\cdot d\vec l = \sum(\text{中の渦})}_{\text{ストークス：輪で囲う}}$

外周をなぞるだけで中身が分かる、という同じ知恵が、片や面・片や輪で、二度くり返されている。③で「囲んで数える」が気持ちよかったなら、こちらも同じ気持ちよさのはずだ。

発散と回転 ── 場の、二つの素

なぜ、わざわざ「発散」と「回転」の二つを道具にするのか。── それは、ベクトル場が局所で持てる“癖”が、突き詰めるとこの二つしかないからだ。

ある点で、流れは 湧き出しているかもしれない（発散）。あるいは 渦を巻いているかもしれない（回転）。この二つは、まったく別の癖で、片方だけ持つこともできる。

• 湧き出すが、回らない流れ ── 中心からまっすぐ外へ広がっていく流れ。羽根車を置くと、外へ押し流されはするけれど、自転はしない（放射状だから、回す向きの差がない）。発散はあるが、回転はゼロ。
• 回るが、湧き出さない流れ ── ぐるぐる巻く渦。羽根車は回るけれど、どこかへ湧き出してはいない（出る量と入る量が釣り合っている）。回転はあるが、発散はゼロ。

少し踏み込んだ言い方をすると ── どこでどれだけ湧き出し（発散）、どこでどれだけ渦を巻くか（回転）、その二つさえ決めれば、場の形は決まってしまう。だから場を読むには、この二つを別々に捕まえる道具があればいい。③のガウスで「湧き出し」を、今日のストークスで「渦」を ── これで、場を読む両輪がそろった。私は、この“発散と回転の二枚で場が決まる”という簡素さが、けっこう好きなんだ。込み入って見える場も、結局は「どこで湧き、どこで巻くか」の二問に落ちる。

電気に戻る ── 静電場には、渦がない

道具を持って、電気に帰ろう。

②で「電場は保存力だ」と確かめた。一周ぶんの仕事がゼロ、$\oint \vec E\cdot d\vec l = 0$ ── どんな輪で囲っても、循環がゼロ。これを今日の言葉で言い直すと、こうだ。

静電場には、渦がない（curl $\vec E = 0$）。

どこに羽根車を浮かべても、回らない。だから②で、各点に高さ（電位）を一つ貼れた ── 渦がない流れは、坂（電位）として描けるんだ（渦があると、ぐるぐる回って高さが一意に決まらなくなる）。「保存力だから地図が描けた」の正体は、「回転がゼロだから地図が描けた」だった。

そして、上の二枚の癖でいうと、静電場は 左側 ── 放射状に湧き出すが、回らない。点電荷のまわりの電場が、中心からまっすぐ外へ広がる形（①のクーロン、③のガウス）なのは、まさにこれだ。電荷は 湧き出し（発散）の素ではあるが、渦（回転）の素ではない。③で「面で囲うと中の電荷ぶんだけ湧き出す」と数えたのは発散の側で、その裏で回転はずっとゼロを保っていた ── そのことに、今日やっと名前がついた。

下のラボで、この二つの癖を手で分けてみてほしい。流れを「一様流・ずり流れ・渦・湧き出し」に切り替えて、羽根車をドラッグして好きな場所に置くと、その点の 発散 と 回転 が別々に表示される。ずり流れで「まっすぐなのに回る」を、湧き出しで「広がるのに回らない（＝電場と同じ癖）」を、指で確かめられるようにした。

いつ、渦が立つのか

静かな世界では、電場に渦はなかった。じゃあ、②が予告した「一周して戻ったのに、仕事がゼロにならない瞬間」は、どこにあるのか。

それは、場が 動きはじめたときだ。近くの磁場が時間とともに変わると、その変化が、電場に渦を立てる ── 一周ぶんの仕事が、ゼロでなくなる。$\oint \vec E\cdot d\vec l \neq 0$、curl $\vec E \neq 0$。これが 電磁誘導、①で挙げた電磁気の「5つの芯」の、5番目だ。発電所がコイルの中で磁石を回して電気を起こすのも、つきつめれば「変わる磁場が、電場に渦を立てている」ことにほかならない。②で揺らぐと言った安心の正体は、これだった。

そして磁場の側にも、同じ循環が待っている。電流のまわりには、磁場が 渦を巻く。これは面で囲うガウス型ではなく、輪で囲う循環で書かれる ── $\oint \vec B\cdot d\vec l = \mu_0 I$、芯の3番目、アンペールの法則だ。

歯車じかけの磁場 ── マクスウェルの遊輪

この「回転（渦）が電流を生む」という関係を、マクスウェル自身は、文字どおり 歯車仕掛け で思い描いた。せっかくなので、その絵に少し寄り道していこう。

彼の模型（“On Physical Lines of Force”, 1861頃）では、空間がびっしりと「回転する小さな渦」で埋まっていて、その渦の回転こそが磁場 $\vec B$ だった ── 回る速さが強さ、軸の向きが $\vec B$ の向き。ところが、隣り合う渦が同じ向きに回ると、接する面が逆向きにこすれて噛んでしまう。そこでマクスウェルは、渦と渦のあいだに小さな 遊輪（idle wheel） を挟んだ。ちょうど歯車列のアイドラーギアのように、こすれずに回せる小さな車だ。そして、その遊輪の正体を 電荷 とした。

ここがうまい。渦の回転が一様なら、遊輪はその場で回るだけ＝何も運ばない。でも渦の回転に 場所ムラ（＝磁場の空間変化＝まさに回転・curl）があると、遊輪はその場で回りきれず、転がって動きだす ── この 遊輪の移動が、電流 だ。「磁場そのもの」ではなく「磁場のムラ（回転）」が電流を生む、という $\nabla\times\vec B = \mu_0\vec J$ が、そっくり歯車の言葉に翻訳されている。④でずっと言ってきた「回転は隣との差」が、ここでも効いている。

下のラボで、その歯車を回してみてほしい。「B のムラ」を上げると、一様なあいだ静かに自転していた遊輪が、ギャップを通して電荷を送りはじめる＝電流が流れる。$\vec B$ をいくら強くしても、一様なら電流はゼロのまま ── 効くのはムラ（回転）だけだ、というのが指で掴める。

ちなみに、この渦と遊輪の模型、機械としては正しくない（空間が本当に歯車で埋まっているわけがない）。マクスウェル自身、あとでこの機械仕掛けは捨てている。それでも彼は、この“間違った絵”から 変位電流 を見つけ、ついには 光が電磁波だ と言い当ててしまった ── 物理史でいちばん実りのあった作り話かもしれない。残ったのは、歯車ではなく、式のほうだった。

つまり今日手に入れた「循環と回転」という道具は、これから入っていく磁場と電磁誘導（芯の③④⑤）が、まさにその言葉で書かれている。静電場で「渦はゼロ」を確かめた今は、その手前 ── 静かな世界の、いちばん端だ。ここから先、場が動きだすと渦が立ちはじめる。発散（③）と回転（④）という両輪がそろったいま、電磁気のいちばん動的で面白い景色へ、ようやく踏み出せる。