スイッチしかないのに、正弦波 ── コレクタ共振回路の物理

ジャンクの液晶モニタを開けると、細長い基板が出てくることがある。CCFLインバータ ── バックライトの冷陰極管を光らせるために、12Vから千ボルト級の高周波交流を作る小さな電源だ。

部品を数えると、拍子抜けする。チョークコイルがひとつ、トランスがひとつ、コンデンサ、トランジスタが2個、抵抗が少し。クロックもマイコンも制御ICもない。 なのに電源を繋いだ瞬間から数十kHzで発振して、昇圧して、しかもオシロで覗くとコレクタの波形は……角のない、きれいな半正弦波なんだ。

トランジスタはオンとオフの2値でしか動けない。バチン、バチンと切り替わるだけの部品だ。じゃあ、誰がこの正弦波を描いているんだろう。

主役を取り違えない

この回路(コレクタ共振回路、ロイヤー型とも呼ばれる)を初めて追いかけると、たいてい迷子になる。トランジスタの動きを目で追って、「こいつがどうやって滑らかな波を作るのか」を探してしまうからだ。私も最初はそうだった。

コレクタ共振回路の骨格。V_inからチョークを通ってセンタータップへ電流が届き、Q1/Q2が半周期ごとに交代でA側・B側へ流す。C_rと一次巻線がLCタンク。帰還巻線がタンクの位相を読んでベースを駆動する（●は巻線の極性。ベース抵抗・二次巻線と負荷は省略）。この図は以降の記事でずっと使うから、A・B・CTの3つの名前だけ覚えておいてほしい。

でも、主役はそこにいない。

波形の時間発展を決めているのはLC共振タンク。スイッチは、タンクが失ったエネルギーを良い位相で注ぎ足し、電流の通り道を半周期ごとに選び直しているだけ。

レストランで言えば、スイッチは料理人ではなく給仕だ。料理(波形)を作っているのはLとCで、給仕は皿が空きかけたタイミングで次を運んでくる。給仕の歩き方がぎこちなくても(2値でも)、料理の味は変わらない。

この一文を握って読むと、正弦波も、自励発振も、πVinも、ZVSも、全部一本の話になる。順番に開けていこう。

電圧と電流は、瞬間には飛べない

土台は、コンデンサとインダクタの基本式だ。

i_C = C\frac{dv_C}{dt}, \qquad v_L = L\frac{di_L}{dt}

この2本が言っているのは、こういうことだよ。有限の電流では、コンデンサの電圧を一瞬で変えられない。有限の電圧では、インダクタの電流を一瞬で変えられない。 電圧を不連続に飛ばすには無限大の電流が要る。そんなものはどこにもない。

だから、スイッチがどれだけ乱暴にバチバチ切り替わっても、タンクの状態量 ── コンデンサの電圧とインダクタの電流 ── は連続にしか動けない。正弦波の滑らかさは、スイッチの滑らかさから来るんじゃない。エネルギーを蓄える素子の「連続でしか動けない」性質から来る。 最初の謎の半分は、もうこれで解けている。

LとCだけにすると、勝手に揺れる

損失のない並列LCを、外から何も繋がずに放っておく。式は2本。

C\frac{dv}{dt} + i_L = 0, \qquad L\frac{di_L}{dt} = v

1本目を時間微分して2本目を代入すると、

\frac{d^2v}{dt^2} + \frac{1}{LC}\,v = 0

── 見覚えのある形だ。バネにつないだおもりと同じ、単振動の方程式。解は

v(t) = V_m\cos(\omega_0 t + \phi), \qquad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

になる。物理としては、コンデンサの電界エネルギー $\tfrac12 Cv^2$ とインダクタの磁界エネルギー $\tfrac12 L i_L^2$ が、そっくり往復している。ブランコの位置エネルギーと運動エネルギーの交換と同じで、合計は一定のまま、形だけが入れ替わり続ける。

正弦波は、誰かが描くものじゃなかった。LとCを繋ぐと、正弦波は勝手に出てくる。 スイッチの仕事は、これを邪魔しないことだ。

これは机の上で再現できる実験でもある。コンデンサに電池で電荷を溜めておいて、スイッチを電池側からコイル側へ倒す。その瞬間から、誰も何も操作していないのに、電圧は勝手に正弦波を描き始める。

いちばん小さな「スイッチを押すと正弦波が出てくる」実験。スイッチがしたのは接続の切り替え1回だけで、波形の各点はぜんぶLCが描いている。下の遊び場の「起動」ボタンは、この実験の実機版だ。

半周期のあいだ電流を注いでも、正弦のまま

でも実機のスイッチは、ただ見ているわけじゃない。入力チョークからやってくるほぼ一定の電流を、半周期ごとに右の巻線・左の巻線へ振り分けて、タンクに注ぎ込んでいる。電流を注いだら、せっかくの正弦波が歪むんじゃないか？

ここが、この回路のいちばん美しいところだと思う。ある半周期の間、注入電流 $I$ は一定だとする。式はこうなる。

C\frac{dv}{dt} + i_L = I, \qquad L\frac{di_L}{dt} = v

さっきと同じように1本目を時間微分すると ── 右辺の $I$ は定数だから、消える。

\frac{d^2v}{dt^2} + \frac{1}{LC}\,v = 0

まったく同じ単振動の方程式に戻ってしまった。つまり、一定の電流を注いでいる間も、タンク電圧はやっぱり正弦波の一区間をなぞる。スイッチが波形の各点を作っているのではなくて、スイッチは「一定電流の符号」を半周期ごとに選んでいるだけで、曲線そのものはずっとLCが描いている。

上：タンク電圧。下：スイッチが振り分ける注入電流。注入は角ばった矩形波なのに、電圧の曲線には継ぎ目がない——定数Iは微分で消えるから、各半周期の中で電圧は正弦波の一区間そのものになる。

別の顔からも見ておこう。半周期ごとに反転する注入電流は矩形波だから、フーリエで開けば基本波と3次・5次・…の足し合わせだ(足し合わせの話の出番だね)。タンクの並列インピーダンスは共振周波数でだけ高く、3次や5次に対しては低い。だから矩形波を突っ込んでも、電圧になれるのはほぼ基本波だけ。 タンクのQが5もあれば、3次成分の電圧は基本波の2.5%程度まで沈む。時間領域で見ても周波数領域で見ても、答えは同じところに落ちる ── 正弦波を選んでいるのはタンクだ。

誰も合図していないのに、動き出す

この回路にはクロックがない。じゃあ、電源を入れた瞬間、まだ何の振動もないところから、どうやって始まるんだろう。

答えは少し意地悪で、「完全に対称なら、始まらない」。2つのトランジスタが完璧に同一で、巻線も配線も完璧に対称なら、左右は釣り合ったまま動かない。でも現実の部品はそうじゃない。 $V_{BE}$ の差、増幅率の差、巻線抵抗の差、コアの残留磁束、熱雑音 ── どこかに必ず微小な非対称がある。

仮に左の石の電流がほんのわずか大きくなったとする。一次巻線の磁束が変化し、それが帰還巻線に電圧を誘起する。その極性が「左をさらにオン、右をさらにオフ」の向きになるように帰還巻線を繋いであるから、微小な差は正帰還でどんどん育つ。振幅が小さいうちは注ぎ足しが損失に勝って成長し、大きくなるとスイッチの飽和や負荷が効いてきて、やがて一定振幅の周期軌道 ── リミットサイクルに落ち着く。

正帰還の一周。左右のどちらかがわずかに勝てば、その差が磁束→帰還巻線→ベースと一周して、勝ちがさらに大きくなる向きに帰ってくる。完全に対称ならこのループに入力がなく、静止したままだ。

ここでも主役の取り違えに気をつけたい。左右の交代は、トランジスタが時間を数えて決めているんじゃない。タンクが半周期の運動を終えて電圧の符号が返るのを、帰還巻線が読んで、導通する側を入れ替えている。 指揮者はタンクで、スイッチは楽譜(タンクの位相)を見て動く演奏者だ。だから発振周波数も、おおよそ

f_0 \simeq \frac{1}{2\pi\sqrt{L_d C_r}}

とタンク側の量で決まる( $L_d$ は一次巻線をA-B間から見た実効インダクタンス)。

このおかげで、転流は自然と「オフ側のコレクタ電圧が共振でゼロ付近まで戻ってきた瞬間」に起きる。電圧がほぼゼロの端子にスイッチが入るなら、切り替えの瞬間に捨てるエネルギーが小さい ── いわゆる**ZVS(ゼロ電圧スイッチング)**だ。狙って作り込んだのではなく、タンクの位相に従って動くという構造そのものが、良いタイミングを連れてくる。ただし「構造上、必ず完全なZVSになる」とまでは言えない。ベース蓄積の遅延や寄生容量があれば残留電圧は生じるから、そこは実機で波形を見て確かめる領分だよ。

πが顔を出す ── ピーク電圧はなぜ πV_in か

この回路には有名な関係式がある。オフ側コレクタ電圧のピークが、入力電圧のおよそπ倍になる、というものだ。3.14倍。どうして円周率がこんなところに出てくるんだろう。

導出は、拍子抜けするほど短い。定常状態では、入力チョークにかかる電圧の一周期平均はゼロでなければならない(ゼロでなければ、チョーク電流が周期ごとに増え続けるか減り続けるかしてしまって、「定常」に矛盾する)。チョークの片端は入力電圧 $V_{\mathrm{in}}$ 、もう片端はトランスのセンタータップだから、

\langle v_{\mathrm{CT}} \rangle = V_{\mathrm{in}}

── センタータップ電圧の平均は、入力電圧にぴったり等しい。

左：チョークの両端。定常ではチョークにかかる電圧の一周期平均がゼロ＝センタータップ電圧の平均がV_inに釘付けになる。右：そのセンタータップ波形。赤い破線（平均）がV_inで、山の高さがV_pk/2。「平均＝ピーク×2/π」を繋ぐだけでπV_inが出てくる。

一方で、センタータップの波形は、オフ側コレクタに立つ半正弦波の半分、つまりピーク $V_{\mathrm{pk}}/2$ の全波整流正弦波になっている。そして全波整流正弦波の平均値は、ピークの $2/\pi$ 倍。これは正弦波の面積の話で、 $\int_0^\pi \sin\theta\, d\theta = 2$ を区間幅 $\pi$ で割ると $2/\pi$ 、というだけのことだ。2つを繋ぐと、

V_{\mathrm{in}} = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{V_{\mathrm{pk}}}{2} \quad\Longrightarrow\quad V_{\mathrm{pk}} = \pi V_{\mathrm{in}}

πの正体は、正弦波の「平均」と「ピーク」の比だった。ボルト秒の帳尻(チョークの平均電圧ゼロ)と、正弦波の形。使ったのはこの2つだけで、負荷の重さも部品の値も出てこない。だから理想モデルでは、負荷を変えてもピーク電圧は $\pi V_{\mathrm{in}}$ 付近に留まろうとして、代わりに入力電流のほうが増減する。

ひとつだけ釘を刺しておくと、これは理想定常モデルの結果であって、「耐圧は $\pi V_{\mathrm{in}}$ の何倍を選べ」という暗記則ではないよ。実機では漏れインダクタンスのリンギングが理想ピークに上乗せされるし、負荷外れや故障の過渡はもっと高い。素子の耐圧は倍率の暗記ではなく、理想ピーク＋リンギング＋故障過渡＋余裕、というストレス予算として積むものだ。

遊び場 ── つまみを回して、主役を確かめる

下の遊び場に、この回路の心臓部(電流給電＋差動LCタンク＋2つのスイッチ)を入れてある。

起動を押すと、ほぼゼロの状態から振幅が育ってリミットサイクルに落ち着くのが見える。誰も合図していないのに始まる、あの話だ。
$L_d$ や $C_r$ のつまみを回すと、発振周波数が $1/2\pi\sqrt{L_dC_r}$ に従って動く。スイッチには周波数を決める場所がないことを、つまみで確かめてほしい。
$V_{\mathrm{in}}$ を変えると、ピーク電圧が理論線 $\pi V_{\mathrm{in}}$ を追いかける。負荷を重くしても、電圧は $\pi V_{\mathrm{in}}$ に居座ったまま、代わりに入力電流 $I_{\mathrm{ch}}$ のほうが増えていく ── ボルト秒の帳尻だけで決まっていた、あの導出の意地を見ることができる(これは理想スイッチの模型の話。実機では素子の電流限界や飽和が先に音を上げる)。
エネルギーの棒グラフは、 $\tfrac12Cv^2$ と $\tfrac12Li_L^2$ の往復 ── ブランコの帳簿だ。

「スイッチが描いてるんじゃない」という一文は、読むより、つまみを回したほうが早く腑に落ちると思う。

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同じ言葉で読める景色

いったんこの見方 ── 主役はタンク、スイッチは給仕 ── が手に入ると、CCFLインバータだけの話ではなくなる。誘導加熱のワークコイル、ワイヤレス給電の送電コイル、圧電振動子の駆動、LLCコンバータの共振槽。どれも「共振器に、スイッチが位相を合わせてエネルギーを注ぎ足す」という同じ骨格で読み始められる。境界条件(負荷の正体)が違うだけだ。

ジャンク箱の細長い基板は、分解すれば数百円ぶんの部品の集まりだけど、その動作原理は、共振と帰還とエネルギー保存の小さな教科書になっている。次にモニタを分解することがあったら、捨てる前にオシロを当ててみてほしい。角のない波形が、LとCの署名だよ。