巻線の中の波 ── 高圧巻線は、部品ではなく共振器

前回、トランスの中には三人の住人がいると言った。共通磁束、漏れ磁束、そして電界。前の二人は行列とkで扱えたけれど、三人目だけ「本格的には次回」と預けておいた。今回がその回だ。

そして三人目が主役になった瞬間、道具立てが根本から変わる。巻線は部品ではなくなり、空間になる。

電圧が「一つの値」でなくなる

集中定数の回路では、一本の導線の電圧は一つの値だ。回路図のノードに電位をひとつ書けば済む。この前提が成り立つのは、信号の波長が回路よりずっと長くて、「導線のどこでも同時に同じ電位」とみなせる間だけ。

高圧トランスの二次巻線を考える。何百回も巻かれた細い線。各ターンは直列のインダクタンスを少しずつ持ち、隣のターン・層・コアとの間に容量を少しずつ張っている(前回の容量行列の住人たちだ)。つまり巻線は、微小なLと微小なCが交互に並んだ長い梯子——伝送線路そのものの構造をしている。

周波数が上がって、巻線に沿った電気的な距離が波長と比べられるようになると、電圧は場所の関数 $v(x,t)$ になる。巻線の根元と先端で、同じ瞬間に違う電圧が立つ。回路図のノードにひとつの数字を書く、という便利な約束が、ここで壊れる。

境界条件が、倍音列を決める

線路の上では波が走り、端で反射して、行きと帰りが重なって定在波が立つ。どんな周波数で立つかを決めるのは、線路の長さと——ここが今日の芯——両端の境界条件だ。

コレクタ共振回路の高圧二次を理想化してみる。根元はGND側に繋がっていて電圧が動けない(短絡端＝電圧の節)。先端は高圧出力で、電流の行き場がない(開放端＝電流の節、電圧の腹)。この「短絡-開放」の組み合わせで立てる定在波は、

の形に限られて、開放端の条件 $\cos\beta\ell = 0$ から

——基本波の1、3、5、7倍という奇数倍の共振列が出てくる。

この奇数倍列、どこかで見た形だと思わない？　閉管の管楽器とまったく同じだ(声はどこで鳴っている？でやった、あの物理)。片端が閉じて片端が開いた管は奇数倍音しか鳴らない。両端が同じ種類(両開放・両短絡)なら整数倍列になる——倍音の並びは、部品や管の材質の性質ではなく、境界条件の産物。教科書のこの一言が、この回でいちばん持ち帰ってほしい骨だよ。

ちなみに両端が中途半端な負荷で終わる一般の場合も、条件は一行で書ける——$\Gamma_1\Gamma_2 e^{-2\gamma\ell} = 1$、「一往復の伝搬位相と両端の反射位相の和が、ちょうど整数周回になる波だけが生き残る」。短絡-開放はその特別な場合にすぎない。負荷が変われば反射位相が変わり、モードの周波数も動く。プローブを当てただけで共振がずれるのは、あなたの測定が下手なのではなくて、境界条件を変えてしまったからだ。

c/(4ℓ) を使ってはいけない

「1/4波長ね。じゃあ導線を伸ばした長さℓと光速cで $f = c/4\ell$ だ」——とやりたくなるけれど、これはほぼ確実に大外れする。

巻線は裸の導線ではない。密に巻かれて大きな $L'$ を持ち、隣接ターンやコアとの間に大きな $C'$ を持つ、遅波構造だ。波の速さは $v_p = 1/\sqrt{L'C'}$ で決まり、光速よりずっと遅い。だから共振周波数は $c/4\ell$ よりずっと低いところに来る。1/4波長の絵は「節と腹がどこに立つか」の直観のために使い、数値は測るか、区間モデルで解く——直観と定量の役割分担だ。

梯子で数える ── 高次がずれる理由

連続の線路を、N個のLC区間の梯子に離散化して固有値を解くと、綺麗な閉形式が出る。

$N=24$ で低次から周波数比を並べると——1.000、2.996、4.979、6.943、8.877、10.775。低次は綺麗に奇数倍(1, 3, 5, …)に乗り、高次ほど下へ垂れていく。

この「高次が垂れる」は、シミュレーションが壊れる話でやった離散格子の分散と同じ現象だ。細かい構造(ターンの粒)が見える周波数では、波はもう連続線路の顔をしてくれない。実巻線の共振列が教科書どおりの奇数倍にならなくても、それは巻線が不良品なのではなく、離散と非一様の正直な返事だ。

モードは空間パターン ── 呼ばれない波もいる

高次共振を「高い周波数のピーク」とだけ思っていると、大事なことを見落とす。各モードの実体は巻線内部の空間パターン——どこに電圧の腹が立ち、どの区間の電流が同相で流れるか、という形そのものだ。

そして、あるモードが励振されるかどうかは、周波数が合うかだけでは決まらない。駆動がそのモードの形と空間的に重なっているかが要る。モードの節の位置から駆動しても、そのモードは呼べない。ギターの12フレット(弦の中点)を軽く触れてハーモニクスを出す遊びの逆で、節を押さえれば、その倍音は殺せる。

これは実は、自励発振の設計に直結する。帰還巻線をどこに巻くかは、どのモードの声を大きく聞くかを選ぶ行為だ。意図した主モードを強く読み、余計な高次モードを読まない位置に帰還を置ければ、発振は望んだモードに乗りやすくなる。第2回で「帰還巻線がタンクの位相を読む」と言ったのは、空間まで含めるとこういう解像度の話になる。

ふたつの共振器が出会うと ── モード分裂

章の最初から、タンクはひとつだった。でも実機では、一次側のLCタンクと、二次巻線(それ自体が共振器)が、結合係数kで繋がっている。同じ周波数 $\omega_0$ に同調したふたつの共振器を結合すると、共振はふたつに割れる。

kが弱ければ分裂は小さく、k=0.6にもなると 0.79倍と1.58倍——1本だったはずのピークが、まるで別人のように離れる。ワイヤレス給電で送受コイルを近づけすぎると効率カーブが2山に割れるのも、二重同調フィルタの平坦な通過帯もこれだ。そして自励発振器がこの2本のどちらに乗るかは、「電力が大きい方」ではなく帰還が強く読む方——さっきの空間結合の話が、ここでも効いてくる。

(この $\omega_\pm$ の式は2つの直列LCループという教育モデルのもので、実機のコレクタ共振回路は磁化枝も容量も負荷も絡むから、設計値は回路行列か区間モデルで解く——という教科書の但し書きも添えておく。)

で、1/4波長で設計すべきなのか

しない方がいい——普通の電力変換トランスでは。内部電圧の最大値が端子から見えず、負荷や筐体でモードが動き、絶縁と部分放電の評価が難しく、自励帰還が別モードにロックする危険まである。普通のトランスは、最初の内部モードが動作周波数より十分上に来るように設計して、内部の波をなるべく起こさないのが正道だ。

でも、巻線そのものを共振器として使う装置たち——テスラコイル、ヘリカル共振器、分布型の高周波変成器——では、1/4波長設計こそが本体になる。終端容量、電圧腹の位置、給電点、結合、損失分布まで、分布共振器として意図的に設計する。同じ物理が、避けるべき寄生にも、装置の心臓にもなる。境界条件を敵に回すか、味方に付けるかの違いだけだ。

遊び場 ── 節と腹を、指でつまむ

下の遊び場はLCラダーのモード・エクスプローラだ。

• モード1〜6を切り替えると、巻線に沿った定在波が揺れる。節(動かない点)と腹(暴れる点)のマーカ付き。3次モードで「巻線の途中の腹」を見てほしい——端子からは見えない高圧の正体
• 周波数はしごで、低次が奇数倍に乗り高次が垂れるのを、区間数Nを変えながら
• 駆動位置のスライダで、駆動点を各モードの節に置くと結合バーがゼロに落ちる——「呼ばれない波」を指で確認
• モード分裂タブでは、結合係数(遊び場では $k_c$ 表記——モード番号のkと紛れないように)を回すと、1本の共振が2本に割れていく

次回は三倍共振——「基本波に3次を混ぜて波形の頭を平らにする」という、高調波を敵ではなく道具として使う話。1/9という半端な係数の出どころと、その代償まで。